Question

16．已知函数f（x）=x³+ax²+3x-9．
（1）若a=-1时，求函数f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）若函数f（x）在x=-3时取得极值，当x∈[-4，-1]时，求使得f（x）≥m恒成立的实数m的取值范围；
（3）若函数f（x）在区间[1，2]上单调递减，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f（2），f′（2），代入切线方程即可；
（2）求出函数的导数，求出a的值，得到函数的单调区间，从而求出f（x）的最小值，得到m的范围即可；
（3）问题转化为a≤-$\frac{3}{2}$（x+$\frac{1}{x}$）在[1，2]恒成立，令h（x）=-$\frac{3}{2}$（x+$\frac{1}{x}$），x∈[1，2]，根据函数的单调性求出h（x）的最小值，从而求出a的范围即可．

解答 解：（1）a=-1时，f（x）=x³-x²+3x-9，
f′（x）=3x²-2x+3，
f′（2）=11，f（2）=1，
故切线方程是：y-1=11（x-2），
即11x-y-21=0；
（2）f′（x）=3x²+2ax+3，
f′（-3）=30-6a=0，解得：a=5，
∴f（x）=x³+5x²+3x-9，
f′（x）=（3x+1）（x+3），
令f′（x）＞0，解得：x＞-$\frac{1}{3}$或x＜-3，
令f′（x）＜0，解得：-3＜x＜-$\frac{1}{3}$，
∴f（x）在[-4，-3）递增，在（-3，-1]递减，
∴f（x）的最小值是f（-4）或f（-1），
而f（-4）=-5，f（-1）=-8，
∴m≤-8；
（3）若函数f（x）在区间[1，2]上单调递减，
则f′（x）=3x²+2ax+3≤0在[1，2]恒成立，
即a≤-$\frac{3}{2}$（x+$\frac{1}{x}$）在[1，2]恒成立，
令h（x）=-$\frac{3}{2}$（x+$\frac{1}{x}$），x∈[1，2]，
h′（x）=-$\frac{3（x-1）（x+1）}{{2x}^{2}}$＜0在[1，2]恒成立，
∴h（x）在[1，2]递减，h（x）_min=h（2）=-$\frac{15}{4}$，
∴a≤-$\frac{15}{4}$．

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．