Question

4．已知函数f（x）=x²-3x-2lnx．
（1）求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）若函数g（x）=f（x）+alnx，求g（x）在区间[1，2]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）求出g（x）的导数，通过讨论a的范围，求出g（x）的单调性，从而求出其最大值即可．

解答 解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{（2x+1）（x-2）}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞2，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，
∴f（x）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增；
（2）g（x）=f（x）+alnx=x²-3x+（a-2）lnx，
g′（x）=2x-3+$\frac{a-2}{x}$=$\frac{{2x}^{2}-3x+（a-2）}{x}$，
令h（x）=2x²-3x+（a-2），对称轴x=$\frac{3}{4}$，
h（x）在[1，2]递增，h（x）_min=h（1）=a-3，h（x）_max=h（2）=a，
①a≥3时，h（x）≥0，即g′（x）≥0，g（x）在[1，2]递增，
∴g（x）_max=g（2）=（a-2）ln2-2，
②0＜a＜3时，?x₀∈（1，2），
使得在[1，x₀）h（x）＜0，即g′（x）＜0，g（x）递减，
在（x₀，2]，h（x）＞0，即g′（x）＞0，g（x）递增，
∴g（x）的最大值是g（1）或g（2），
③a≤0时，h（x）≤0，即g′（x）≤0，g（x）递减，
g（x）_max=g（1）=（a-2）ln2-2，
综上，g（x）_max=（a-2）ln2-2．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．