Question

2．若函数f（x）=lnx+ax²-（a+2）x在$x=\frac{1}{2}$处取得极大值，则正数a的取值范围是（0，2）．

Answer 1

分析 求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值点，结合已知条件，判断即可．

解答 解：f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{1}{x}$+2ax-（a+2）=$\frac{（2x-1）（ax-1）}{x}$，
①a≤0时，ax-1＜0，
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{2}$，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{2}$，
故$\frac{1}{2}$是函数的极小值点，不合题意，
②0＜a＜2时，$\frac{1}{2}$＜$\frac{1}{a}$，
令f′（x）＞0，解得：x＜$\frac{1}{2}$或x＞$\frac{1}{a}$，
令f′（x）＜0，解得：$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{1}{a}$，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）递增，在（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{a}$）递减，在（$\frac{1}{a}$，+∞）递增，
∴函数f（x）在$x=\frac{1}{2}$处取得极大值，符合题意，
③a=2时，f′（x）≥0，f（x）递增，无极值，
④a＞2时，$\frac{1}{2}$＞$\frac{1}{a}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{2}$或x＜$\frac{1}{a}$，
令f′（x）＜0，解得：$\frac{1}{a}$＜x＜$\frac{1}{2}$，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）递增，在（$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{2}$）递减，在（$\frac{1}{2}$，+∞）递增，
∴函数f（x）在x=$\frac{1}{a}$处取得极大值，不符合题意，
综上，a∈（0，2），
故答案为：（0，2）．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．