Question

4．如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2，∠BAD=60°，E，F分别为AB，BC上的点，且AE=2EB，CF=2FB．
（1）若$\overrightarrow{DE}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AD}$，求x，y的值；
（2）求$\overrightarrow{AB$•$\overrightarrow{DE}$的值；
（3）求cos∠BEF．

Answer 1

分析 （1）利用向量的比例关系，即可求出x，y的值．
（2）利用（1）的结果，通过数量积的运算，求解即可．
（3）求出$\overrightarrow{EF}$，通过向量的数量积的运算法则求解cos∠BEF即可．

解答 解：（1）∴$\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}$，
∴$x=\frac{2}{3}，y=-1$…4
（2）$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{AB}•（\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}）=\frac{2}{3}{\overrightarrow{AB}^2}-\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$…6
=$\frac{2}{3}×{4^2}-4×2×\frac{1}{2}=\frac{20}{3}$…10
（3）设$\overrightarrow{EB}，\overrightarrow{EF}$的夹角为θ，
∵$|\overrightarrow{EF}{|^2}=|\frac{1}{3}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}）{|^2}=\frac{28}{9}$，
∴$|\overrightarrow{EF}|=\frac{{2\sqrt{7}}}{3}$…12
又∵$\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{EB}={\overrightarrow{EB}^2}+\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{EB}=\frac{16}{9}+\frac{4}{9}=\frac{20}{9}$，$|\overrightarrow{EB}|=\frac{4}{3}$…14
∴$cosθ=\frac{{\overrightarrow{EB}•\overrightarrow{EF}}}{{|\overrightarrow{EF|}|\overrightarrow{DE}|}}=\frac{{\frac{20}{9}}}{{\frac{{2\sqrt{7}}}{3}×\frac{4}{3}}}=\frac{{5\sqrt{7}}}{14}$…16

点评 本题考查向量的数量积，向量共线的应用，考查转化思想以及计算能力．