Question

6．求证：
（1）$\frac{1+tan\frac{x}{2}}{1-tan\frac{x}{2}}$=$\frac{1+sinx}{cosx}$；
（2）tan$\frac{x}{2}$=$\frac{1-cosx}{sinx}$．

Answer 1

分析 （1）由条件利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式化简要证等式的右边，正好等于左边，从而证得等式成立．
（2）由条件利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式化简要证等式的右边，正好等于左边，从而证得等式成立．

解答 证明：（1）∵等式的右边=$\frac{1+sinx}{cosx}$=$\frac{{（cos\frac{x}{2}+sin\frac{x}{2}）}^{2}}{{cos}^{2}\frac{x}{2}{-sin}^{2}\frac{x}{2}}$=$\frac{{cos}^{2}\frac{x}{2}{+sin}^{2}\frac{x}{2}+2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}}{{cos}^{2}\frac{x}{2}{-sin}^{2}\frac{x}{2}}$=$\frac{1{+tan}^{2}\frac{x}{2}+2tan\frac{x}{2}}{1{-tan}^{2}\frac{x}{2}}$=$\frac{{（1+tan\frac{x}{2}）}^{2}}{（1+tan\frac{x}{2}）（1-tan\frac{x}{2}）}$=$\frac{1+tan\frac{x}{2}}{1-tan\frac{x}{2}}$=左边，
∴等式$\frac{1+tan\frac{x}{2}}{1-tan\frac{x}{2}}$=$\frac{1+sinx}{cosx}$成立．
（2）等式的右边=$\frac{1-cosx}{sinx}$=$\frac{1-（1-{2sin}^{2}\frac{x}{2}）}{2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}}$=$\frac{{2sin}^{2}\frac{x}{2}}{2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}}$=tan$\frac{x}{2}$=左边，
∴等式tan$\frac{x}{2}$=$\frac{1-cosx}{sinx}$成立．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系、半角公式的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，属于中档题．