Question

1．f（x）=$\sqrt{2}$cos（2x-$\frac{π}{4}$）．
（1）求f（x）的对称轴和对称中心；
（2）求函数f（x）在[-$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{2}$]上的最小值和最大值，并求出取得最值时的x值．

Answer 1

分析 （1）利用余弦函数的图象的图象的对称性，求得f（x）的对称轴和对称中心．
（2）利用余弦函数的定义域和值域，求得函数的最值，以及取得最值时的x值．

解答 解：（1）对于f（x）=$\sqrt{2}$cos（2x-$\frac{π}{4}$），令2x-$\frac{π}{4}$=kπ，求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$，
可得函数的对称轴为x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$，k∈Z．
令2x-$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{5π}{8}$，可得函数的对称中心为（$\frac{kπ}{2}$+$\frac{5π}{8}$，0），k∈Z．
（2）因为在[-$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{2}$]上，2x-$\frac{π}{4}$∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$），
故当2x-$\frac{π}{4}$=0时，函数f（x）取得最大值为$\sqrt{2}$，此时，x=$\frac{π}{8}$；
当2x-$\frac{π}{4}$=$\frac{3π}{4}$时，函数f（x）取得最小值为$\sqrt{2}$•（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=-1，此时，x=$\frac{π}{2}$．

点评 本题主要考查余弦函数的图象的图象的对称性，余弦函数的定义域和值域，属于中档题．