Question

10．已知椭圆C的两个焦点分别为${F_1}（{-2\sqrt{2}，0}）$，${F_2}（{2\sqrt{2}，0}）$，长轴长为6．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知过点（0，2）且斜率为1的直线交椭圆C于A、B两点，试探究原点O是否在以线段AB为直径的圆上．

Answer 1

分析 （1）根据题意，分析可得c、a的值，由椭圆的几何性质可得b的值，将a、b的值代入椭圆的方程计算可得答案；
（2）设出A、B的坐标，以及AB的方程，联立直线与椭圆的方程可得10x²+36x+27=0，由根与系数的关系分析计算$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的值，分析即可得答案．

解答 解：（1）根据题意得：$c=2\sqrt{2}$，a=3，所以b=1，
∴椭圆方程为$\frac{x^2}{9}+{y^2}=1$．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直线AB的方程为y=x+2，
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{9}+{y^2}=1\\ y=x+2\end{array}\right.$得：10x²+36x+27=0，△＞0，
则${x_1}+{x_2}=-\frac{18}{5}$，${x_1}{x_2}=\frac{27}{10}$，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=2{x_1}{x_2}+2（{{x_1}+{x_2}}）+4=\frac{27}{5}-\frac{36}{5}+4=\frac{11}{5}≠0$，
∴原点O不在以线段AB为直径的圆上．

点评 本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系，关键是求出椭圆的标准方程．