Question

19．等差数列{a_n}的前n项为S_n，且满足a₂+a₄=-7，S₆=-24．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）通过等差数列中下标和相等两项和相等及S₆=-24可知a₃+a₄=-8，利用a₂+a₄=-7可知公差d及a₃，进而计算可得结论；
（2）通过（1）裂项可知b_n=-（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），进而并项相加即得结论．

解答 解：（1）依题意，S₆=（a₁+a₆）+（a₂+a₅）+（a₃+a₄）=3（a₃+a₄）=-24，
∴a₃+a₄=-8，
又∵a₂+a₄=-7，
∴d=a₃-a₂=-1，a₃=$\frac{{a}_{2}+{a}_{4}}{2}$=-$\frac{7}{2}$，
∴a_n=a₃+（n-3）d=-$\frac{7}{2}$-（n-3）=-$\frac{2n+1}{2}$；
（2）由（1）可知b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{n（{a}_{1}+{a}_{n}）}$=$\frac{2}{n（-\frac{3}{2}-\frac{2n+1}{2}）}$=-$\frac{2}{n（n+2）}$=-（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
∴T_n=-（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=-（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$-$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，利用裂项相消法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．