Question

定义在[0，2]上的函数f（x）=

-x2+2x，x∈[0，1] log2x+1，x∈(1，2]

，若不等式[f（x）]²-af（x）+3＞0恒成立，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：先确定f（x）∈[0，2]，再分类讨论，利用基本不等式，即可得出结论．

解答： 解：∵定义在[0，2]上的函数f（x）=

-x2+2x，x∈[0，1] log2x+1，x∈(1，2]

，
∴函数在[0，2]上为增函数，
∴f（x）∈[0，2]．
f（x）=0时，不等式[f（x）]²-af（x）+3=3＞0恒成立；
f（x）≠0时，f（x）＞0，不等式[f（x）]²-af（x）+3＞0可化为a＜f（x）+

3

f(x)

∵f（x）+

3

f(x)

≥2

3

，当且仅当f（x）=

3

f(x)

，即f（x）=

3

时等号成立，
∴a＜2

3

．
故答案为：a＜2

3

．

点评：本题考查分段函数的应用，考查基本不等式的运用，正确分离参数是关键．