Question

已知函数f（x）=x+lnx和g（x）=x+

a2

x

．
（1）求f（x）在（1，f（1））处的切线方程．
（2）当a≠0时，求g（x）的单调区间．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：（1）由y=x+1nx，知y′=1+

1

x

，由此能求出函数y=x+1nx在点（1，1）处的切线方程；
（2）求导数，分类讨论，利用导数的正负，可得g（x）的单调区间．

解答： 解：（1）∵y=x+1nx，
∴y′=1+

1

x

，
∴k=y′|_x=1=1+1=2，
∴函数y=x+1nx在点（1，1）处的切线方程为y-1=2（x-1），
整理，得2x-y-1=0；
（2）∵g（x）=x+

a2

x

，
∴g′（x）=

x2-a2

x2

，
a＞0时，由g′（x）＞0可得函数的单调增区间为（-∞，-a），（a，+∞），
由g′（x）＜0可得函数的单调减区间为（-a，0），（0，a）；
a＜0时，由g′（x）＞0可得函数的单调增区间为（-∞，a），（-a，+∞），
由g′（x）＜0可得函数的单调减区间为（a，0），（0，-a）．

点评：本题考查函数的切线方程的求法，考查函数的单调区间，考查分类讨论的数学思想，正确求导是关键．