Question

5．若x，y满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-2≥0}\\{x-y+1≥0}\\{6x-y-14≤0}\end{array}\right.$，则z=$\sqrt{（x-1）^{2}+（y-3）^{2}}$的取值范围是（　　）

• A． [1，5]
• B． [$\frac{\sqrt{29}}{3}$，$\sqrt{26}$]
• C． [$\sqrt{5}$，$\sqrt{26}$]
• D． [$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{26}$]

Answer 1

分析 作出可行域，则z表示可行域内的点到（1，3）的距离．根据可行域分别计算距离的最大值，最小值即可．

解答 解：作出约束条件表示的可行域如图所示：
由z=$\sqrt{（x-1）^{2}+（y-3）^{2}}$的几何意义可知z表示可行域内的点到P（1，3）的距离．
由可行域可知可行域内的点（x，y）到P点（1，3）的最短距离为P到直线x-y+1=0的距离，
最短距离为d=$\frac{|1-3+1|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
可行域内的点到P点的最大距离为|PA|，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-2=0}\\{6x-y-14=0}\end{array}\right.$，得A（2，-2）．
∴|PA|=$\sqrt{（2-1）^{2}+（-2-3）^{2}}$=$\sqrt{26}$．
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤z$≤\sqrt{26}$．
故选：D．

点评 本题考查了简单的线性规划，距离公式的应用，属于中档题．