Question

1．已知a，b∈R，不等式$|\begin{array}{l}{x^2}&{1}&{x}\\{b}&{-a}&{1}\\{x}&{a}&{-1}\end{array}|$＞0的解为1＜x＜2，求a，b的值．

Answer 1

分析 将行列式展开，由行列式大于0，即ax²+（1+ab）x+b＞0，由1和2是方程ax²+（1+ab）x+b=0的两个根，由韦达定理可知，列方程组即可求得a和b的值．

解答 解：$|\begin{array}{l}{x^2}&{1}&{x}\\{b}&{-a}&{1}\\{x}&{a}&{-1}\end{array}|$=x²×（-a）×（-1）+x+abx-x²×（-a）-ax²-（-1）×b=ax²+（1+ab）x+b＞0，
∵不等式的解为1＜x＜2，
∴a＜0，且1，2为一元二次方程：ax²+（1+ab）x+b=0的两个根，
由韦达定理可知：$\left\{\begin{array}{l}{1+2=-\frac{1+ab}{a}}\\{1×2=\frac{b}{a}}\end{array}\right.$，整理得：2a²+3a+1=0，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
故a=-1，b=-2或a=-$\frac{1}{2}$，b=-1．

点评 本题考查行列式的展开，考查一元二次不等式与一元二次方程的关系及韦达定理，考查计算能力，属于中档题．