Question

过直线x=4上动点P作圆O：x²+y²=4的两条切线PA，PB，其中A，B是切点，则下列结论中正确的是

 

．（填正确结论的序号）
①|OP|的最小值是4；
②

OP

•

AB

=0；
③

OP

•

OA

=4；
④存在点P，使△OAP的面积等于

11

；
⑤任意点P，直线AB恒过定点．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：阅读型,平面向量及应用,直线与圆

分析：①由点O到直线x=4的距离，即可判断；
②由圆的对称性，即可得到OP⊥AB；
③由数量积的定义和余弦函数的定义，即可得到

OA

•

OP

=|

OA

|²=4，即可判断；
④求出△OAP的面积的最小值为2

3

，即可判断；
⑤设P（4，y₀），求出直线AB的方程，即可判断直线AB恒过定点．

解答： 解：①由点O到直线x=4的距离为4，故①正确；
②由平面几何知识得，OP⊥AB，故②正确；
③

OA

•

OP

=|

OA

|²=4，故③正确；
④由于△OAP的面积为

1

2

×|AP|×2=|AP|=

|OP|2-4

≥

12

，故④不正确；
⑤设P（4，y₀），直线AB的方程为：4x+y₀y=4，则直线AB恒过定点（1，0），故⑤正确．
故答案为：①②③⑤

点评：本题考查直线和圆的位置关系，平面向量的数量积及性质，以及直线恒过定点的问题，属于中档题．