Question

12．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足a_n+1=2S_n+6，且a₁=6．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和为T_n，证明：$\frac{1}{3•{T}_{1}}$+$\frac{1}{{3}^{2}•{T}_{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}•{T}_{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}•{T}_{n}}$＜3．

Answer 1

分析 （1）根据a_n=S_n-S_n-1得出{a_n}是等比数列，从而可得{a_n}的通项；
（2）求出T_n，利用裂项法计算$\frac{1}{3•{T}_{1}}$+$\frac{1}{{3}^{2}•{T}_{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}•{T}_{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}•{T}_{n}}$得出结论．

解答 解：（1）∵数列{a_n}的前n项和S_n满足a_n+1=2S_n+6，且a₁=6．
∴当n=1时，a₂=2S₁+6=2a₁+6=18，∴a₂=18，
由a_n+1=2S_n+6得a_n=2S_n-1+6（n≥2），
∴a_n+1-a_n=2S_n-2S_n-1=2a_n，
∴a_n+1=3a_n（n≥2），
又a₁=6，
∴数列{a_n}是以6为首项，公比为3的等比数列，
∴${a}_{n}=6•{3}^{n-1}$=2•3ⁿ．
证明：（2）$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}•\frac{1}{{3}^{n}}$，
∴T_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}+\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{1}{{3}^{3}}+…+\frac{1}{{3}^{n}}$）
=$\frac{1}{2}×\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{{3}^{n}}$），
∴$\frac{1}{{3}^{n}•{T}_{n}}$=$\frac{4}{{3}^{n}-1}$=$\frac{4（{3}^{n+1}-1）}{（{3}^{n}-1）（{3}^{n+1}-1）}$=$\frac{6（2•{3}^{n}-\frac{2}{3}）}{（{3}^{n}-1）（{3}^{n+1}-1）}$＜$\frac{6•2•{3}^{n}}{（{3}^{n}-1）（{3}^{n+1}-1）}$=6（$\frac{1}{{3}^{n}-1}$-$\frac{1}{{3}^{n+1}-1}$），
∴$\frac{1}{3•{T}_{1}}$+$\frac{1}{{3}^{2}•{T}_{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}•{T}_{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}•{T}_{n}}$＜6（$\frac{1}{3-1}$-$\frac{1}{{3}^{2}-1}$+$\frac{1}{{3}^{2}-1}$-$\frac{1}{{3}^{3}-1}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}-1}$-$\frac{1}{{3}^{n+1}-1}$）
=6（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{3}^{n+1}-1}$）=3-$\frac{6}{{3}^{n+1}-1}$＜3．
∴$\frac{1}{3•{T}_{1}}$+$\frac{1}{{3}^{2}•{T}_{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}•{T}_{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}•{T}_{n}}$＜3．

点评 本题考查等比数列、等差数列等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．