Question

14．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c．若c=2a，bsinB-asinA=$\frac{1}{2}$asinC，则sinB等于 （　　）

• A． $\frac{\sqrt{7}}{4}$
• B． $\frac{3}{4}$
• C． $\frac{\sqrt{7}}{3}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 由正弦定理化简已知可得：b²-a²=$\frac{1}{2}ac$，又c=2a，可解得a²+c²-b²=3a²，利用余弦定理可得cosB，结合范围0＜B＜π，即可解得sinB．

解答 解：∵bsinB-asinA=$\frac{1}{2}$asinC，
∴由正弦定理可得：b²-a²=$\frac{1}{2}ac$，
又∵c=2a，
∴a²+c²-b²=4a²-$\frac{1}{2}ac$=3a²，
∴利用余弦定理可得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{3{a}^{2}}{2a•2a}$=$\frac{3}{4}$，
∴由于0＜B＜π，解得：sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\sqrt{1-\frac{9}{16}}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$．
故选：A．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数关系式的应用，熟练掌握相关公式及定理是解题的关键，属于中档题．