Question

已知函数f（x）=lnx-ax+

2

x

（a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若函数y=f（x）在定义域内是减函数，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,函数单调性的判断与证明

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求导数，可得切线的斜率，即可求出曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若函数y=f（x）在定义域内是减函数，f′(x)=

1

x

-a-

2

x2

≤0在（0，+∞）上恒成立，即a≥

1

x

-

2

x2

=

x-2

x2

在（0，+∞）上恒成立，求最值，即可求a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）当a=1时，f(x)=lnx-x+

2

x

∴f（1）=1，
∴切点为（1，1）
∵f′(x)=

1

x

-1-

2

x2

=

-x2+x-2

x2

∴f′（1）=-2
∴切线方程为y-1=-2（x-1），即2x+y-3=0．
（Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=

1

x

-a-

2

x2

∵函数y=f（x）在定义域内是减函数
∴f′(x)=

1

x

-a-

2

x2

≤0在（0，+∞）上恒成立，即a≥

1

x

-

2

x2

=

x-2

x2

在（0，+∞）上恒成立，
设g(x)=

x-2

x2

，x∈（0，+∞），g′(x)=

x2-(x-2)•2x

x4

=

-x2+4x

x4

令g′（x）=0得x₁=0（舍去），x₂=4
∵x∈（0，4）时g′（x）＞0，g（x）单调递增，x∈（4，+∞）时g′（x）＜0，g（x）单调递减
∴g(x)max=g(4)=

1

8

，
∴a≥

1

8

．

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．