Question

【题目】设数列的前项和为，对任意，点都在函数的图象上.

(1)求，归纳数列的通项公式(不必证明).

(2)将数列依次按项、项、项、项、项循环地分为，，，，各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为，求的值.

(3)设为数列的前项积，若不等式对一切都成立，其中，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1），，， （2）3012 （3）

【解析】

（1）求得，分别令，2，3，进而归纳出数列的通项公式；

（2）写出几个循环数，可得每一次循环记为一组，由每一个循环含有5个括号，故是第20组中第5个括号内的数之和，每一个循环中含有15个数，20个循环具有300个数，计算可得所求和；

（3）由题意可得原不等式即为对一切都成立，

设，则只需，判断数列的单调性，可得最大值，解不等式即可得到所求的范围．

因为点在函数的图象上，故

所以

令，得，所以；

令，得，所以；

令，得，所以；

由此猜想:.

因为，所以数列依次按项、项、项、项、项循环地分为，，，

每一次循环记为一组.由于每一个循环含有个括号，故是第组中第个括号内各数之和，每个循环中有个数，个循环共有个数.

又，所以.

（3）因为故，

所以

又

故对一切都成立，

就是，则只需即可

由于，所以

故是单调递减，

于是，解得.