Question

在R上定义的函数f（x）是偶函数，且f（x）=f（2-x），若f（x）在区间[1，2]上是减函数，则f（x）在区间[4，5]上是

增

（填增．减）函数．

Answer 1

分析：根据f（x）是偶函数，则有f（-x）=f（x），结合f（x）=f（2-x），确定函数f（x）的周期性和对称性，则利用周期性和对称性即可确定f（x）在区间[4，5]上的单调性．

解答：解：∵f（x）是偶函数，
∴f（-x）=f（x），
又∵f（x）=f（2-x），则f（x）=f（x-2），即f（x+2）=f（x），
∴f（x）是周期函数，周期T=2，
设x∈[4，5]，则x-4∈[0，1]，
∴当x∈[4，5]时，f（x）=f（x-4），
∵f（x）=f（2-x），
∴f（x）关于直线x=1对称，
又∵f（x）在区间[1，2]上是减函数，根据对称区间上单调性相反，
∴f（x）在[0，1]上是增函数，
∴函数f（x）在区间[4，5]上是单调增函数．
故答案为：增．

点评：本题考查了函数单调性的判断与证明，考查函数利用函数奇偶性与对称性研究函数的单调性，综合考查了函数的性质的应用，以及对函数单调性的判断与证明的掌握能力．属于中档题．