Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，AB⊥AC，BC=1，AB=

2

，BB₁=2，点E是棱CC₁中点．
（1）求证：EB₁⊥平面ABE；
（2）若二面角B-AE-A₁的大小为锐角α，求cosα．

Answer 1

分析：（1）要证EB₁⊥平面ABE，只需证EB₁垂直平面ABE内的两条相交直线即可，利用已知的三棱柱为直三棱柱，且AB⊥AC证得AB⊥EB₁，然后通过解直角三角形证出EB₁⊥EB，最后由线面垂直的判定得答案；
（2）通过建立空间直角坐标系求出二面角B-AE-A₁的两个半平面所在平面的法向量，由法向量所成角的余弦值求得答案．

解答：（1）证明：∵AA₁⊥底面ABC，AA₁∥BB₁
∴BB₁⊥底面ABC，∴AB⊥BB₁，又AB⊥BC
∴AB⊥BB₁C₁C，∴AB⊥EB₁
又EB2+FB12=BB12，∴EB₁⊥EB
∴EB₁⊥平面ABE              
（2）解：分别以射线BA、BC、BB₁为x轴、y轴、z轴正半轴建立空间直角坐标系B-xyz
则B（0，0，0），A（

2

，0，0），E(0，1，1)，A1(

2

，0，2)，B1(0，0，2)．
由（1）知平面ABE的法向量为

EB1

=(0，-1，1)．
设平面AA₁E的法向量为

m

=(x，y，z)，又

AA1

=(0，0，2)，

A1E

=(-

2

，1，-1)   
由

m • AA1 =0 m • A1E =0

，即

z=0 2 x-y+z=0

，令y=

2

得：

m

=(1，

2

，0)．
∴cosα=

EB1 • m

| EB1 | | m |

=

3

3

．

点评：本题考查了直线与平面垂直的性质，考查了利用空间向量求二面角的大小，解答的关键是建立正确的空间右手系，是中档题．