Question

16．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$，x∈R）的部分图象如图所示．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数$g（x）=f（x+\frac{π}{12}）-f（x+\frac{π}{3}）$的单调递增区间．

Answer 1

分析 （I）由题意可知A的值，由$\frac{3T}{4}=\frac{9π}{12}$可求T，利用周期公式可得ω，由$f（\frac{π}{3}）=2sin（2×\frac{π}{3}+φ）=2$，结合$|φ|＜\frac{π}{2}$即可求得φ，即可求得函数f（x）的解析式．
（II） 由三角函数恒等变换化简解析式可得g（x）=2$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{4}≤\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$，即可解得g（x）的单调递增区间．

解答 （本小题满分13分）
解：（I）由题意可知，A=2，$\frac{3T}{4}=\frac{9π}{12}$，得T=π，$T=\frac{2π}{ω}=π$，解得ω=2.$f（\frac{π}{3}）=2sin（2×\frac{π}{3}+φ）=2$，
即$\frac{2π}{3}+φ=\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$，$|φ|＜\frac{π}{2}$，
所以 $φ=-\frac{π}{6}$，故$f（x）=2sin（2x-\frac{π}{6}）$．…（7分）
（II）∵$g（x）=2sin（2（x+\frac{π}{12}）-\frac{π}{6}）-2sin（2（x+\frac{π}{3}）-\frac{π}{6}）$
=2sin2x-2sin（2x+$\frac{π}{2}$）
=2sin2x-2cos2x
=2$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），
∴由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{4}≤\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$，可解得：$-\frac{π}{8}+kπ≤x≤\frac{3π}{8}+kπ，k∈Z$．
故g（x）的单调递增区间是$[-\frac{π}{8}+kπ，\frac{3π}{8}+kπ]，k∈Z$．．…（13分）

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的单调性，三角函数恒等变换等知识的应用，属于基本知识的考查．