Question

5．△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，$\overrightarrow m=（1，2），\overrightarrow n=（cos2A，{cos^2}\frac{A}{2}）$，且$\overrightarrow m•\overrightarrow n=1$．
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）若$b+c=2a=2\sqrt{3}$，求△ABC的面积并判断△ABC的形状．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由两向量的坐标，及已知等式，利用平面向量的数量积运算法则求出cosA的值，即可确定出A的大小；
（Ⅱ）根据已知等式求出a的值，利用余弦定理列出关系式，把a，b+c，cosA的值代入求出bc的值，利用三角形面积公式求出三角形ABC面积，并判断其形状即可．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow{m}$=（1，2），$\overrightarrow{n}$=（cos2A，cos²$\frac{A}{2}$），且$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=1，
∴$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=cos2A+2cos²$\frac{A}{2}$=2cos²A-1+1+cosA=2cos²A+cosA=1，
∴cosA=$\frac{1}{2}$或cosA=-1，
∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）由题意知a=$\sqrt{3}$，
∵a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-2bc（1+cosA），
∴3=12-2bc（1+cos$\frac{π}{3}$），
∴bc=3，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
由$\left\{\begin{array}{l}b+c=2\sqrt{3}\\ bc=3\end{array}\right.$，得b=c=$\sqrt{3}$，
∵a=$\sqrt{3}$，
∴△ABC为等边三角形．

点评 此题考查了余弦定理，三角形面积公式，平面向量的数量积运算，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．