Question

13．已知函数$f（x）={x^3}-\frac{{3（{a+1}）}}{2}{x^2}+3ax+1$，a∈R．
（1）若函数f（x）在点（2，f（2））处的切线与直线x+9y=0垂直，求实数a的值；
（2）若函数f（x）在x∈（0，4）内存在最小值1，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，由两直线垂直的条件可得切线的斜率，解方程可得a的值；
（2）求出导数，令导数为0，对a讨论，①当a≤0时，②当0＜a＜1时，③当a=1时，④当1＜a＜4时，⑤当a≥4时，求出单调区间，求得最小值，解方程即可得到a的值．

解答 解：（1）f′（x）=3x²-3（a+1）x+3a，
因为函数f（x）在点（2，f（2））处的切线与直线x+9y=0垂直，
所以f′（2）=9，即3×2²-6（a+1）+3a=9，
解得a=-1；
（2）f′（x）=3x²-3（a+1）x+3a，令f′（x）=0得x=1，x=a．
①当a≤0时，f（x）在（0，1）单调递减，在（1，4）单调递增，
所以当x=1时，f（1）是f（x）在x∈（0，4）内的最小值，
则$f（1）=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}a=1$，解得$a=\frac{1}{3}$，不符合题意舍去；
②当0＜a＜1时，f（x）在（0，a）和（1，4）单调递增，在（a，1）单调递减，
∴$\left\{\begin{array}{l}f（1）≤f（0）\\ 0＜a＜1\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}1-\frac{3（a+1）}{2}+3a+1≤1\\ 0＜a＜1\end{array}\right.$，解得$0＜a≤\frac{1}{3}$，
当$0＜a≤\frac{1}{3}$时，使f（1）是f（x）在x∈（0，4）内的最小值，
则$f（1）=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}a=1$，解得$a=\frac{1}{3}$符合题意；
③当a=1时，f'（x）=3（x-1）²≥0，f（x）在（0，4）单调递增，
则函数f（x）在x∈（0，4）内不存在最小值；
④当1＜a＜4时，f（x）在（0，1）和（a，4）单调递增，在（1，a）单调递减，
∴$\left\{\begin{array}{l}f（a）≤f（0）\\ 1＜a＜4\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a^3}-\frac{3（a+1）}{2}{a^2}+3{a^2}+1≤1\\ 1＜a＜4\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}a≥3\\ 1＜a＜4\end{array}\right.$，所以3≤a＜4．
所以当x=a时，函数f（x）在x∈（0，4）内存在最小值，
则f（a）=1，解得a=3；
⑤当a≥4时，f（x）在（0，1）单调递增，在（1，4）单调递减，
则函数f（x）在x∈（0，4）内不存在最小值．
综上得，$a=\frac{1}{3}$或a=3．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，同时考查分类讨论的思想方法和函数单调性的运用，两直线垂直的条件：斜率之积为-1，考查运算能力，属于中档题．