Question

4．若（x+1）ⁿ⁺¹（1-$\frac{1}{x}$）ⁿ（n∈N^*）的展开式中存在系数为10的项，则n=（　　）

• A． 5
• B． 6
• C． 9
• D． 10

Answer 1

分析 根据（x+1）ⁿ⁺¹（1-$\frac{1}{x}$）ⁿ展开式${C}_{n+1}^{r}$•x^r•${C}_{n}^{s}$•${（-\frac{1}{x}）}^{s}$中存在系数为10的项，得出（-1）^s•${C}_{n+1}^{r}$•${C}_{n}^{s}$=10，再令s=0，r=1，求出n的值．

解答 解：∵（x+1）ⁿ⁺¹（1-$\frac{1}{x}$）ⁿ=（1+x）ⁿ⁺¹•${（1-\frac{1}{x}）}^{n}$，（n∈N^*）；
展开式中通项公式为
${C}_{n+1}^{r}$•x^r•${C}_{n}^{s}$•${（-\frac{1}{x}）}^{s}$=（-1）^s•${C}_{n+1}^{r}$•${C}_{n}^{s}$•x^r-s；
∵展开式中存在系数为10的项，
∴（-1）^s•${C}_{n+1}^{r}$•${C}_{n}^{s}$=10，
令s=0，r=1，得n+1=10；
∴n=9．
故选：C．

点评 本题考查了二项式定理的应用问题，解题时应灵活应用二项式展开式的通项公式，是基础题目．