Question

14．若二项式${（{x-\frac{a}{{\root{3}{x}}}}）^6}$展开式中含x²项的系数为$\frac{5}{2}$，则$\lim_{n→∞}（{1+a+{a^2}+…+{a^n}}）$=$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 根据二项式${（{x-\frac{a}{{\root{3}{x}}}}）^6}$展开式的通项公式求出展开式中含x²项的系数，得出a的值；
再计算$\lim_{n→∞}（{1+a+{a^2}+…+{a^n}}）$的值．

解答 解：∵二项式${（{x-\frac{a}{{\root{3}{x}}}}）^6}$展开式的通项公式为
T_r+1=${C}_{6}^{r}$•x^6-r•${（-\frac{a}{\root{3}{x}}）}^{r}$=（-a）^r•${C}_{6}^{r}$•${x}^{6-\frac{4}{3}r}$，
令6-$\frac{4}{3}$r=2，
解得r=3；
∴展开式中含x²项的系数为
（-a）³•${C}_{6}^{3}$=$\frac{5}{2}$，
解得a=-$\frac{1}{2}$；
∴$\lim_{n→∞}（{1+a+{a^2}+…+{a^n}}）$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1{-（-\frac{1}{2}）}^{n+1}}{1-（-\frac{1}{2}）}$=$\frac{1}{1+\frac{1}{2}}$=$\frac{2}{3}$．
故答案为：$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了数列求和的应用问题以及极限的计算问题，是基础题目．