Question

10．已知数列{a_n}前n项和为S_n，满足2S_n+n²=3a_n-6，（n∈N^*）
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：$\frac{1}{S_2}+\frac{1}{S_3}+…+\frac{1}{S_n}＜\frac{1}{18}$，（n≥2，n∈N^*）
（Ⅲ）设 ${b_n}=\frac{lnn}{{{3^{n+1}}-{a_n}}}$，（n≥2，n∈N^*），求证：${b_2}+{b_3}+{b_4}+…+{b_n}＜\frac{n（n-1）}{4}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用数列的通项和前n项和的关系，可得a_n=3a_n-1+2n-1，再运用构造数列的方法，可得数列{a_n+n+1}是首项为9，公比为3的等比数列．运用等比数列的通项公式即可得到；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知S_n，再由不等式的性质，可得3ⁿ⁺¹＞n²+3n+9，结合等比数列的求和公式，即可得证；
（III）化简${b_n}=\frac{lnn}{{{3^{n+1}}-{a_n}}}$=$\frac{lnn}{n+1}$，（n≥2）令f（x）=lnx-x+1，（x≥2）运用导数判断单调性，运用单调性和不等式的性质，即可得证．

解答 解：（Ⅰ）由2S_n+n²=3a_n-6①得，
当n=1时，a₁=7，
当n≥2，n∈N^*）时，$2{S_{n-1}}+（n-1）{\;}^2=3a{\;}_{n-1}-6$ ②，
①-②得a_n=3a_n-1+2n-1，
a_n+n+1=3[a_n-1+（n-1）+1]，（n≥2，n∈N^*）
∴$\frac{{{a_n}+n+1}}{{{a_{n-1}}+（n-1）+1}}=3$，（n≥2，n∈N^*）．
又a₁+2=9，所以数列{a_n+n+1}是首项为9，公比为3的等比数列．
a_n+n+1=3ⁿ⁺¹，∴${a_n}={3^{n+1}}-n-1$；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知S_n=$\frac{{3{a_n}-{n^2}-6}}{2}$=$\frac{{3}^{n+2}-{n}^{2}-3n-9}{2}$，
易知n≥2，n∈N^*时，3ⁿ＞n²，3ⁿ＞3n，3ⁿ＞9，
∴3ⁿ⁺¹＞n²+3n+9，
$\frac{1}{S_n}=\frac{2}{{{3^{n+2}}-{n^2}-3n-9}}＜\frac{2}{{{3^{n+2}}-{3^{n+1}}}}=\frac{1}{{{3^{n+1}}}}$（n≥2，n∈N^*），
$\frac{1}{{S}_{2}}$+$\frac{1}{{S}_{3}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$＜$\frac{1}{{3}^{3}}$+$\frac{1}{{3}^{4}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n+1}}$=$\frac{1}{18}$（1-$\frac{1}{{3}^{n+2}}$）＜$\frac{1}{18}$；
（III）证明：${b_n}=\frac{lnn}{{{3^{n+1}}-{a_n}}}$=$\frac{lnn}{n+1}$，（n≥2）
令f（x）=lnx-x+1，（x≥2）
f′（x）=$\frac{1-x}{x}$＜0在[2，+∞）上恒成立，
所以f（x）在[2，+∞）上单调递减，
f（x）≤f（2）=ln2-1＜0，
∴lnx＜x-1，
令x=n²则得lnn²＜n²-1，
即2lnn＜（n+1）（n-1），
∴$\frac{lnn}{n+1}$＜$\frac{n-1}{2}$（n≥2，n∈N⁺），
故${b_2}+{b_3}+{b_4}+…+{b_n}＜\frac{1}{2}+\frac{2}{2}+\frac{3}{2}+…+\frac{n-1}{2}=\frac{n（n-1）}{4}$．

点评 本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，同时考查数列的通项和前n项和的关系，以及对数函数的性质和不等式的证明，属于中档题．