Question

2．在平面直角坐标系xoy中，点M的坐标为（-1，2），在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l的方程为ρcosθ+ρsinθ-1=0
（I）判断点M与直线l的位置关系；
（Ⅱ）设直线l与抛物线y=x²相交于A，B两点，求点M到A，B两点的距离之积．

Answer 1

分析 （I）由直线l的方程ρcosθ+ρsinθ-1=0化为直角坐标方程：x+y-1=0，把点M的坐标代入直线l的方程即可判断出位置关系．
（II）可设直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），代入抛物线方程可得：${t}^{2}+\sqrt{2}t$-2=0，利用点M到A，B两点的距离之积=|t₁t₂|即可得出．

解答 解：（I）由直线l的方程ρcosθ+ρsinθ-1=0化为直角坐标方程：x+y-1=0，
∵-1+2-1=0，
∴点M在直线l上；
（II）可设直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），
代入抛物线方程可得：${t}^{2}+\sqrt{2}t$-2=0，则t₁t₂=-2．
∴点M到A，B两点的距离之积=|t₁t₂|=2．

点评 本题考查了把极坐标方程化为直角方程、直线参数方程的应用、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．