Question

11．若行列式$|{\begin{array}{l}5&1&π\\{sin（{π+x}）}&0&{\sqrt{2}}\\{cos（{\frac{π}{4}+x}）}&2&1\end{array}}|$的第1行第2列的元素1的代数余子式为-1，则实数x的取值集合为{x|x=π+2kπ，k∈Z}．

Answer 1

分析 本题直接根据行列式的代数余子式的定义进行计算，即可得到本题结论．

解答 解：∵行列式$|{\begin{array}{l}5&1&π\\{sin（{π+x}）}&0&{\sqrt{2}}\\{cos（{\frac{π}{4}+x}）}&2&1\end{array}}|$的第1行第2列的元素1的代数余子式为-1，
∴-$|\begin{array}{l}{sin（π+x）}&{\sqrt{2}}\\{cos（\frac{π}{4}+x）}&{1}\end{array}|$=-1，
∴sin（π+x）-$\sqrt{2}cos（\frac{π}{4}+x）$=1，
∴-sinx-$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cosx-sinx）=1，
即cosx=-1，∴x=π+2kπ   （k∈Z），
故答案为：{x|x=π+2kπ，k∈Z}．

点评 本题考查了行列式的代数余子式，三角函数的计算，记住常用常见角的三角函数值是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．