Question

已知f（x）是定义在[-1，1]上的函数，f（x）=-f（-x），且f（1）=1，若a，b∈[-1，1]，a+b≠0，有

f(a)+f(b)

a+b

＞0．
（1）证明函数f（x）在[-1，1]上是增函数；
（2）若f（x-1）＜f（2x），求x的取值范围．
（3）附加题（5分）：若f（x）≤-2am+2，对所有的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数单调性的判断与证明,奇偶性与单调性的综合

专题：综合题

分析：（1）任取-1≤x₁＜x₂≤1，f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=

f(x1)+f(-x2)

x1-x2

．(x1-x2)，由此能够证明f（x）在[-1，1]上是增函数．
（2）由f（x）在[-1，1]上是增函数，f（x-1）＜f（2x），知

x-1＜2x -1≤x-1≤1 -1≤2x≤1

，由此能求出x的取值范围．
（3）由f（x）在[-1，1]上是增函数，知f_max（x）=f（1）=1，要使f（x）≤-2am+2，对所有的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，只需2am-1≤0，由此能求出实数m的取值范围．

解答： （1）证明：任取-1≤x₁＜x₂≤1，
f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=

f(x1)+f(-x2)

x1-x2

．(x1-x2)
∵

f(x1)+f(-x2)

x1-x2

＞0，x₁-x₂＜0
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在[-1，1]上是增函数
（2）解：∵f（x）在[-1，1]上是增函数，f（x-1）＜f（2x），
∴

x-1＜2x -1≤x-1≤1 -1≤2x≤1

，
整理，得

x＞-1 0≤x≤2 - 1 2 ≤x ≤ 1 2

∴x的取值范围是：{x|0≤x≤

1

2

}．
（3）解：∵f（x）在[-1，1]上是增函数，
∴f_max（x）=f（1）=1，
∵要使f（x）≤-2am+2，对所有的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，
只需-2am+2≥1，
即2am-1≤0，
设g（a）=2ma-1，
∴

g(-1)≤0 g(1)≤0

，即

-2m-1≤0 2m-1≤0

，
解得-

1

2

≤m≤

1

2

．

点评：本题考查函数恒成立问题的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易错点是要使f（x）≤-2am+2，对所有的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，只需-2am+2≥1，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．