Question

平面向量

a

，

b

，

e

满足|

e

|=1，

a

•

e

=1，

b

•

e

=2，|

a

-

b

|=2，则

a

•

b

的最小值为（　　）

• A、

  1

  2

• B、

  5

  4

• C、1
• D、2

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：设

a

=（x₁，y₁），

b

=（x₂，y₂）．不妨取

e

=（1，0）．由于平面向量

a

，

b

，

a

•

e

=1，

b

•

e

=2，可得

a

=（1，y₁），

b

=（2，y₂）．由于|

a

-

b

|=2，可得(y1-y2)2=3．只考虑y₁y₂＜0．不妨取y₂＞0，y₁＜0．利用基数量积运算、本不等式可得

a

•

b

=2+y₁y₂=2-（-y₁）y₂≥2-(

-y1+y2

2

)2即可得出．

解答： 解：设

a

=（x₁，y₁），

b

=（x₂，y₂）．
∵

e

满足|

e

|=1，∴不妨取

e

=（1，0）．
∵平面向量

a

，

b

，

a

•

e

=1，

b

•

e

=2，
∴x₁=1，x₂=2．
∴

a

=（1，y₁），

b

=（2，y₂）．
∵|

a

-

b

|=2，∴

1+(y1-y2)2

=2，化为(y1-y2)2=3．
只考虑y₁y₂＜0．不妨取y₂＞0，y₁＜0．
∴

a

•

b

=2+y₁y₂=2-（-y₁）y₂≥2-(

-y1+y2

2

)2=

5

4

，当且仅当-y₁=y₂=

3

2

时取等号．
∴

a

•

b

的最小值为

5

4

．
故选：B．

点评：本题考查了向量的数量积运算、基本不等式的性质，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．