Question

下面能得出△ABC为锐角三角形的条件是（　　）

• A、sinA+cosA=

  1

  5

• B、tanA+tanB+tanC＞0
• C、b=3，c=3

  3

  ，B=30°
• D、

  AB

  •

  BC

  ＜0

Answer 1

考点：三角形的形状判断

专题：计算题,解三角形,平面向量及应用

分析：由平方，运用同角的平方关系，即可判断A；运用两角和的正切公式，即可判断B；
由正弦定理，解得C，A，即可判断C；由向量的数量积的定义，即可判断D．

解答： 解：对于A．sinA+cosA=

1

5

平方可得，sin²A+cos²A+2sinAcosA=

1

25

，即有2sinAcosA=-

24

25

＜0，则sinA＞0，cosA＜0，A为钝角，则A不满足；
对于B．由于tan（A+C）=

tanA+tanC

1-tanAtanC

=-tanB，即有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC＞0，
即tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0，则为锐角三角形，则B满足；
对于C．运用正弦定理，可得，sinC=

csinB

b

=

3 3 × 1 2

3

=

3

2

，则C=60°或120°，则A=90°或30°，则C不满足；
对于D.

AB

•

BC

=cacos（π-B）＜0，即cosB＞0，B为锐角，则D不满足．
故选B．

点评：本题考查三角函数的化简，考查正弦定理和向量的数量积的定义，考查判断和运算能力，属于中档题和易错题．