Question

已知正项等比数列{a_n}满足a₆=a₇-2a₅，若存在两项a_m，a_n使得

aman

=2a2，则

1

m

+

4

n

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：利用等比数列的通项公式可得m+n═6，再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

解答： 解：设正项等比数列{a_n}的公比为q＞0．
∵满足a₆=a₇-2a₅，
∴a1q5=a1q6-2a1q4，
化为q²-q-2=0，
解得q=2．
∵存在两项a_m，a_n使得

aman

=2a2，
∴

a2qm-2•a2qn-2

=2a₂，
∴q^m+n-4=2²，
即2^m+n-4=2²，
∴m+n=6．
∴

1

m

+

4

n

=

1

6

(m+n)(

1

m

+

4

n

)=

1

6

(5+

n

m

+

4m

n

)≥

1

6

(5+2

n m • 4m n

)=

3

2

，当且仅当n=2m=4时取等号．
∴

1

m

+

4

n

的最小值为

3

2

．
故答案为：

3

2

．

点评：本题考查了等比数列的通项公式、“乘1法”与基本不等式的性质，考查了计算能力，属于中档题．