Question

若f（x）=x²-x+b，且f（log₂a）=b，log₂f（a）=2（a＞0且a≠1）．
（1）求a，b的值和f（x）的解析式
（2）求f（log₂x）的最小值及相应x的值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用f（x）=x²-x+b，且f（log₂a）=b，log₂f（a）=2，列出方程求a，b的值和f（x）的解析式
（2）化简函数为二次函数，通过二次函数的最值求f（log₂x）的最小值及相应x的值．

解答： 解：（1）∵f（x）=x²-x+b，∴f（log₂a）=（log₂a）²-log₂a+b=b，
∴log₂a=1，∴a=2．
又∵log₂f（a）=2，∴f（a）=4．∴a²-a+b=4，∴b=2．
∴f（x）=x²-x+2．…（4分）
（2）f（log₂x）=（log₂x）²-log₂x+2=（log₂x-

1

2

）²+

7

4

．
∴当log₂x=

1

2

，即x=

2

时，f（log₂x）有最小值

7

4

．…（8分）

点评：本题考查函数的解析式的求法，二次函数的综合应用，考查计算能力．