Question

1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＞c，已知$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=2，cosA=$\frac{1}{3}$，a=3．求：
（1）b和c的值
（2）cos（A-C）的值．

Answer 1

分析 （1）由已知及平面向量数量积的运算可得bc=6，又由余弦定理可得b²+c²=13，进而可求b+c=5，联立即可解得b，c的值．
（2）利用同角三角函数基本关系式可求sinA，利用余弦定理可求cosC，进而可求sinC，利用两角差的余弦函数公式即可计算得解．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=2，cosA=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{1}{3}$bc=2，可得：bc=6①，
又∵a=3，由余弦定理可得：9=b²+c²-2bccosA=b²+c²-$\frac{2}{3}$bc=b²+c²-4，可得b²+c²=13，②
∴由①②可得：b+c=5，③
∴由①③可得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{c=2}\end{array}\right.$．
∵b＞c，
∴b=3，c=2．
（2）∵cosA=$\frac{1}{3}$，
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
又∵b=3，c=2，a=3，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{7}{9}$，sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$，
∴cos（A-C）=cosAcosC+sinAsinC=$\frac{1}{3}×$$\frac{7}{9}$+$\frac{2\sqrt{2}}{3}$×$\frac{4\sqrt{2}}{9}$=$\frac{23}{27}$．

点评 本题主要考查了平面向量数量积的运算，余弦定理，同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式等知识的综合应用，考查了转化思想和计算能力，属于中档题．