Question

6．已知数列{a_n}满足a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{n}，0≤{a}_{n}＜\frac{1}{2}}\\{2{a}_{n}-1，\frac{1}{2}≤{a}_{n}＜1}\end{array}\right.$，若a₁=$\frac{6}{7}$，试求a₂₀₁₅+a₂₀₁₆．

Answer 1

分析 直接由数列递推式分段求出数列的前几项，可得数列{a_n}是周期为3的周期数列，则答案可求．

解答 解：由a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{n}，0≤{a}_{n}＜\frac{1}{2}}\\{2{a}_{n}-1，\frac{1}{2}≤{a}_{n}＜1}\end{array}\right.$，且a₁=$\frac{6}{7}$，得：
${a}_{2}=2{a}_{1}-1=2×\frac{6}{7}-1=\frac{5}{7}$，${a}_{3}=2{a}_{2}-1=2×\frac{5}{7}-1=\frac{3}{7}$，
${a}_{4}=2{a}_{3}-1=2×\frac{3}{7}=\frac{6}{7}$，${a}_{5}=2{a}_{4}-1=2×\frac{6}{7}-1=\frac{5}{7}$，…，
由上可知，数列{a_n}是周期为3的周期数列，
∴${a}_{2015}={a}_{2}=\frac{5}{7}$，${a}_{2016}={a}_{3}=\frac{3}{7}$．
则a₂₀₁₅+a₂₀₁₆=$\frac{5}{7}+\frac{3}{7}=\frac{8}{7}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了数列的函数特性，训练了分段函数的应用，是基础题．