Question

2．已知函数f（x）=3sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）+3
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象；
（3）函数f（x）图象可由y=sinx的图象经怎样的变换得到？

Answer 1

分析 （1）根据周期公式可求最小正周期，由 2kπ+$\frac{π}{2}$≤$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈z，求得x的范围，即得单调减区间．
（2）列表，令$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$分别等于0，$\frac{π}{2}$，π，$\frac{3π}{2}$，2π，求得对应的x，y值，以这五对x，y值作为点的坐标，在坐标系中描出，用平滑曲线连接，即得它在一个周期内的闭区间上的图象．
（3）把y=sinx的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位，再把各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再把各点的纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变），再把各点向上平移3个单位，即得函数y=3sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）+3的图象．

解答 解：（1）T=$\frac{2π}{\frac{1}{2}}$=4π，由 2kπ+$\frac{π}{2}$≤$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈z，可得  4kπ+$\frac{2π}{3}$≤x≤4kπ+$\frac{8π}{3}$，
故单调增区间为[4kπ+$\frac{2π}{3}$，4kπ+$\frac{8π}{3}$]，k∈z．
（2）列表：

$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2 π
x	-$\frac{π}{3}$	$\frac{2π}{3}$	$\frac{5π}{3}$	$\frac{8π}{3}$	$\frac{11π}{3}$
y=3sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）+3	3	6	3	0	3

描点，连线，作图如下：

（3）把y=sinx的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位，再把各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），
再把各点的纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变），再把各点向上平移3个单位，即得函数y=3sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$ ）+3的图象．

点评 本题考查用五点法作y=Asin（ωx+∅）+b的图象，以及此函数的性质、图象变换，用五点法作y=Asin（ωx+∅）+b的图象，是解题的关键，属于中档题．