Question

9．已知y=x²-（3m+1）x+2m²+2m．
（1）当m=2时求关于x的不等式y＜0的解集
（2）求关于x的不等式y＜0的解集；
（3）若y＜0在区间[0，$\frac{1}{2}$]上恒成立，求实数m得取值范围．

Answer 1

分析 （1）代入m，解不等式即可；
（2）因式分解，对参数m进行分类讨论；
（3）利用（2）的结论，可得出m＜1，结合题意，得出m的范围．

解答 解：（1）当m=2时，
y=x²-7x+12＜0，
∴不等式的解集为（3，4）；
（2）x²-（3m+1）x+2m²+2m
=（x-2m）（x-m-1）＜0，
当2m＞m+1，即m＞1时，解集为（m+1，2m）；
当2m＜m+1，即m＜1时，解集为（2m，m+1），
当m=1，无解．
（3）由（2）可知，当m＞1时，显然不成立，
当m＜1时，y＜0的解集为（2m，m+1），
要使在区间[0，$\frac{1}{2}$]上恒成立，
∴2m＜0，m+1＞$\frac{1}{2}$，
∴-$\frac{1}{2}$＜m＜0．

点评 考查了利用因式分解求二次不等式和参数的分类讨论．