Question

5．设f（x）=（x²-$\frac{3}{m}$x+$\frac{5}{{m}^{2}}$）e^mx，其中实数m≠0．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若g（x）=f（x）-$\frac{2}{m}$x-5恰有两个零点，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）讨论f（x）的单调性，很容易想到求导数的办法，通过导函数f′（x）的符号判断单调性，注意到导函数中二次函数的部分，判别式的值以及m的符号判断即可．
（Ⅱ）g（x）=f（x）-$\frac{2}{m}$x-5恰有两个零点，转化为方程有两个解，转化为两个函数有两个交点．判断直线经过的顶点，通过f（x）的导数，曲线的斜率，推出m 的范围．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=（x²-$\frac{3}{m}$x+$\frac{5}{{m}^{2}}$）e^mx，其中实数m≠0．
可得f′（x）=（mx²-x+$\frac{2}{m}$）e^mx，其中实数m≠0．∵e^mx＞0，∴f′（x）的符号，只与mx²-x+$\frac{2}{m}$的符号有关．
令y=mx²-x+$\frac{2}{m}$，m≠0，△=1-4m$•\frac{2}{m}$=-7＜0．
当m＞0时，y＞0恒成立，此时f′（x）＞0，恒成立．函数在R上是增函数．
当m＜0时，y＜0恒成立，此时f′（x）＜0，恒成立．函数在R上是减函数．
（Ⅱ）g（x）=f（x）-$\frac{2}{m}$x-5恰有两个零点，即f（x）=$\frac{2}{m}$x+5恰有两个解，
也就是f（x）=（x²-$\frac{3}{m}$x+$\frac{5}{{m}^{2}}$）e^mx，与g（x）=$\frac{2}{m}$x+5有两个交点．
因为g（x）=$\frac{2}{m}$x+5恒过（0，5），当m=1时，f（x）=（x²-3x+5）e^x，经过（0，5），并且f′（x）=（x²-x+2）e^x，此时f′（0）=2，g（x）=2x+5的斜率也为2，如图：

当m＞1时．两个函数有两个交点．
当m∈（0，1）时，f（x）经过（0，$\frac{5}{{m}^{2}}$），$\frac{5}{{m}^{2}}＞5$，此时两个函数至多有一个交点．
当m＜0时，两个函数都是减函数，m=-1时，两个函数的图象如图：
m＜-1时，两个函数有两个交点．

综上，m＜-1或m＞1．

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的零点的个数，考查转化思想以及数形结合思想的应用，难度比较大．