Question

10．已知f（x）定义在R上的奇函数，若f（x+1）为偶函数，且f（1）=1，则f（2015）+f（2016）=（　　）

• A． -2
• B． -1
• C． 0
• D． 1

Answer 1

分析 根据已知可得f（x）是周期为4的周期函数，进而可得：f（2015）+f（2016）=f（-1）+f（0）=-f（1）+f（0）．

解答 解：∵f（x）定义在R上的奇函数，f（x+1）为偶函数，
∴f（-x）=-f（x），且f（-x+1）=f（x+1），
则f（x+4）=f[（x+3）+1]=f[（-x-3）+1]=f（-x-2）=-f（x+2）=-f[（x+1）+1]=-f[（-x-1）+1]=-f（-x）=f（x），
即f（x）是周期为4的周期函数，
∴f（2015）+f（2016）=f（-1）+f（0）=-f（1）+f（0）=-1，
故选：B．

点评 本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的周期性，函数求值，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．