Question

椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)一短轴顶点与两焦点的连接组成正三角形，且焦点到对应准线的距离等于3．过以原点为圆心，半焦距为半径的圆上任意一点P作该圆的切线l，且l与椭圆交于A、B两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求

OA

•

OB

的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据短轴顶点与两焦点的连接组成正三角形可求得b和c的关系，根据点到对应准线的距离等于3可知a和c的关系式，最后联立求得a和b，则椭圆的方程可得．
（2）令P（x₀，y₀），令A（x₁，x₂），B（x₂，y₂），进而可表示l的方程，先看当y₀=0时，把直线方程与椭圆方程联立消去y，根据韦达定理得到x₁+x₂和x₁x₂的表达式，进而表示出

OA

•

OB

根据x₀²的范围求得

OA

•

OB

的范围；再看y₀=0，x₀²=1时，可分别求得A，B的坐标，则

OA

•

OB

的值可求得，最后综合可得答案．

解答：解：（1）由题意得

a=2c a2 c -c=3 b2=a2-c2

，
求得a=2，b=

3

，c=1
∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．

（2）令P（x₀，y₀），因圆的方程为x²+y²=1
∴l的方程为：x₀x+y₀y=1，令A（x₁，x₂），B（x₂，y₂）
①当y₀=0时，由

x2 4 + y2 3 =1 x 0x+y 0y=1

得（3+x₀²）x²-8x₀x+12x₂⁰-8=0
∴x₁+x₂=

8x0

3+ x 2 0

，x₁x₂=

12x 20-8

3+ x 2 0

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=-

5

3+ x 2 0

∵0≤x₀²＜1
∴-

5

3

≤

OA

•

OB

＜-

5

4

②当y₀=0，x₀²=1时，可求得A（-1，

3

，2

），B（-1，-

3

2

），或A（1，

3

2

），B（1，-

3

2

）
此时都有

OA

•

OB

=-

5

4

综上-

5

3

≤

OA

•

OB

≤-

5

4

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生对问题的综合分析和基本的运算能力．