Question

已知定义在R上的函数f(x)是奇函数且满足f＝f(x)，f(－2)＝5，数列{a_n}满足a₁＝－1，且＝2×＋1(其中S_n为{a_n}的前n项和)，则f(a₆)＋f(a₇)＝________.

Answer 1

－5

[解析]　由题意，得S_n＝2a_n＋n，∴n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1＝2a_n＋n－(2a_n－1＋n－1)＝2a_n－2a_n－1＋1，∴a_n＝2a_n－1－1(n≥2)⇒a_n－1＝2(a_n－1－1)，又a₁＝－1，∴数列{a_n－1}是公比为2，首项为－2的等比数列．∴a_n＝－2ⁿ＋1.∴a₆＝－63，a₇＝－127.已知定义在R上的函数f(x)是奇函数且满足f－x＝f(x)，∴f(x)是周期为3的函数．∴f(a₆)＋f(a₇)＝f(－63)＋f(－127)＝f(0)＋f(－1)＝f(2)＝－5.