Question

6．已知$-\frac{π}{2}＜x＜0，sinx+cosx=\frac{1}{5}$，则$\frac{1}{{{{cos}^2}x-{{sin}^2}x}}$=$\frac{25}{7}$．

Answer 1

分析 先由条件求得sinxcosx=-$\frac{12}{25}$，cosx-sinx=$\sqrt{{（cosx-sinx）}^{2}}$=$\frac{7}{5}$，可得$\frac{1}{{{{cos}^2}x-{{sin}^2}x}}$=$\frac{1}{（cosx+sinx）•（cosx-sinx）}$ 的值．

解答 解：∵$-\frac{π}{2}＜x＜0，sinx+cosx=\frac{1}{5}$，∴平方可得sinxcosx=-$\frac{12}{25}$，
∴cosx-sinx=$\sqrt{{（cosx-sinx）}^{2}}$=$\sqrt{1-2sinxcosx}$=$\frac{7}{5}$，
则$\frac{1}{{{{cos}^2}x-{{sin}^2}x}}$=$\frac{1}{（cosx+sinx）•（cosx-sinx）}$=$\frac{1}{\frac{1}{5}•\frac{7}{5}}$=$\frac{25}{7}$，
故答案为：$\frac{25}{7}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．