Question

11．已知椭圆$\frac{x^2}{4}+{y^2}$=1，P为x轴上一个动点，PA、PB为该椭圆的两条切线，A、B为切点，则$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的最小值为4$\sqrt{5}$-9．

Answer 1

分析 设P（m，n），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），运用椭圆的一点处的切线斜率$\frac{x}{2}$+2yy′=0，求出直线PA，PB的方程，进而得到AB的方程为，代入椭圆方程，利用数量积公式，以及韦达定理，化简整理，由P为x轴上一个动点，可知n=0，利用基本不等式的关系，即可求得$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的最小值．

解答 解：设P（m，n），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则对$\frac{x^2}{4}+{y^2}$=1两边求导，得$\frac{x}{2}$+2yy′=0，
则过切点A的斜率为-$\frac{{x}_{1}}{4{y}_{1}}$，切线方程为：y-y₁=-$\frac{{x}_{1}}{4{y}_{1}}$（x-x₁），
又${x}_{1}^{2}+4{y}_{1}^{2}=4$，化简即得PA：$\frac{{x}_{1}x}{4}+{y}_{1}y=1$，同理可得，PB：$\frac{{x}_{2}x}{4}+{y}_{2}y=1$，
∵PA、PB为该椭圆的两条切线，
∴直线AB的方程为$\frac{mx}{4}+ny=1$，
代入椭圆方程可得（4n²+m²）x²-8mx+（16-16n²）=0，
由韦达定理可知：x₁+x₂=$\frac{8m}{4{n}^{2}+{m}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{16-16{n}^{2}}{4{n}^{2}+{m}^{2}}$，
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=（x₁-m）（x₂-m）+（y₁-m）（y₂-m），=x₁•x₂+m²-m（x₁+x₂）+y₁•y₂-n（y₁+y₂）+n²，
=$\frac{20-3{m}^{2}}{4{n}^{2}+{m}^{2}}$+m²-n²-6，
∵P为X轴上一个动点，
∴n=0，
$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=$\frac{20}{{m}^{2}}$+m²-9≥2$\sqrt{\frac{20}{{m}^{2}}•{m}^{2}}$=4$\sqrt{5}$-9，
当且仅当$\frac{20}{{m}^{2}}$=m²，即m²=2$\sqrt{5}$时取等号．
故答案为：4$\sqrt{5}$-9．

点评 本题主要考查椭圆的简单几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理，平面向量的数量积和基本不等式的综合应用，属于中档题．