Question

如图1，在矩形ABCD中，AB=6，BC=2

3

，沿对角线BD将三角形ABD向上折起，使点A移至点P，且点P在平面BCD上的射影O在DC上得到图2．
（1）求证：BC⊥PD；
（2）判断△PDC是否为直角三角形，并证明；
（3）（文）若M为PC的中点，求三棱锥M-BCD的体积．
（理）若M为PC的中点，求二面角M-DB-C的大小．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知得PO⊥BC，BC⊥CD，从而BC⊥平面PDC，由此能证明BC⊥PD；
（2）由已知条件条件出PD⊥平面PBC，从而PD⊥PC，由此证明△PDC是直角三角形．
（3）（文）由已知条件推导出M到平面BDC的距离h=

2

，S△DBC=

1

2

×6×2

3

=6

3

，由此能求出三棱锥M-BCD的体积．
（3）（理）以平行于BC的直线为x轴，以OC为y轴，以OP为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M-DB-C的大小．

解答： （1）证明：∵点P在平面BCD上的射影O在DC上，
∴PO⊥BC，
∵BC⊥CD，PO∩CD=O，
∴BC⊥平面PDC，
∵PD?平面PDC，
∴BC⊥PD；
（2）解：△PDC是直角三角形．
∵BC⊥PD，PD⊥PB，BC∩PB=B，
∴PD⊥平面PBC，
∴PD⊥PC，
∴△PDC是直角三角形．
（3）（文）解：PD=2

3

，DC=6，DP⊥CP，
∴PC=2

6

，PO=

2 6 ×2 3

6

=2

2

，DO=2，OC=4，
∵M为PC的中点，∴M到平面BDC的距离h=

2

，
S△DBC=

1

2

×6×2

3

=6

3

，
∴三棱锥M-BCD的体积V=

1

3

×

2

×6

3

=2

6

．
（3）（理）解：如图，以平行于BC的直线为x轴，
以OC为y轴，以OP为z轴建立空间直角坐标系，
则O（0，0，0），P（0，0，2

2

），D（0，-2，0），
C（0，4，0），B（2

3

，4，0），M（0，2，

2

），

DB

=(2

3

，6，0)，

DM

=（0，4，

2

），
设平面DBM的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • DB =2 3 x+6y=0 n • DM =4y+ 2 z=0

，取x=

3

，得

n

=（

3

，-1，2

2

），
又

m

=（0，0，1），
∴cos＜

n

，

m

＞=

2 2

3+1+8

=

6

3

二面角M-DB-C的大小arccos

6

3

．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查三菱锥体积的求法，考查二面角的求法，解题时要注意向量法的合理运用．