Question

（1）已知x，y，z均为正数，求证：

x

yz

+

y

zx

+

z

xy

≥

1

x

+

1

y

+

1

z

；
（2）设a，b为正数，且a+b=1，求证：（

1

a2

-1）（

1

b2

-1）≥9．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：证明题,不等式的解法及应用

分析：（1）运用基本不等式证得

x

yz

+

y

zx

≥

2

z

，

y

zx

+

z

xy

≥

2

x

，

z

xy

+

x

yz

≥

2

y

，将三式相加即可证得；
（2）运用分析法证明，要证：（

1

a2

-1）（

1

b2

-1）≥9．结合a+b=1，化简整理，即证ab≤

1

4

，再由基本不等式的推论ab≤（

a+b

2

）²得证．

解答： 证明：（1）∵x，y，z均为正数，
∴

x

yz

+

y

zx

=

1

z

（

x

y

+

y

x

）≥

2

z

，
同理可得

y

zx

+

z

xy

≥

2

x

，

z

xy

+

x

yz

≥

2

y

，
当且仅当x=y=z时，以上三式等号都成立，
将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得，

x

yz

+

y

zx

+

z

xy

≥

1

x

+

1

y

+

1

z

；
（2）（分析法）要证：（

1

a2

-1）（

1

b2

-1）≥9．
即证：

(1-a2)(1-b2)

a2b2

≥9，
即证：（1-a）（1+a）（1-b）（1+b）≥9a²b²，由于a+b=1，
即证：（1+a）（1+b）≥9ab，
即证：ab+a+b+1≥9ab，
将a+b=1代入上式化简得，
即证ab≤

1

4

由ab≤（

a+b

2

）²得证．
（当且仅当a=b=

1

2

取等号）

点评：本题考查不等式的证明方法：分析法、综合法和作差法等，考查基本不等式的运用，属于中档题．