Question

设曲线y=

1

3

ax³+

1

2

bx²+cx在点A（x，y）处的切线斜率为k（x），且k（-1）=0，对一切实数x，不等式x≤k（x）≤

1

2

（x²+1）恒成立（a≠0）．
（1）求k（1）的值；
（2）求函数k（x）的表达式；
（3）求证：

1

k(1)

+

1

k(2)

+

1

k(3)

+…+

1

k(n)

＞

2n

n+2

．

Answer 1

考点：数学归纳法,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）根据题意，在恒成立的不等式x≤k（x）≤

1

2

（x²+1）中，令x=1，可得1≤k（1）≤1，即可得答案；
（2）先对曲线方程求导可得k（x）=ax²+bx+c，已知k（-1）=0和由（1）求得的k（1）=1，可得关于a、b、c的关系式，又由x≤k（x）≤

1

2

（x²+1）恒成立，对x≤k（x）≤

1

2

（x²+1）变形可得，ax²+

1

2

x+c≥0且（2a-1）x²+1x+（2c-1）≤0恒成立；根据二次函数的性质，可得关于ac的关系式，联系可得a、b、c的值，即可得k（x）的表达式；
（3）由（2）得到的k（x）的表达式，结合不等式的性质，运用放缩法，可证明不等式．

解答： （1）解：由x≤k(x)≤

1

2

(x2+1)得1≤k(1)≤1，所以k（1）=1------（3分）
（2）解：对曲线方程求导可得k（x）=ax²+bx+c，
k（-1）=0，则a-b+c=0------①
由（1）得，k（1）=1，则a+b+c=1------②
由①②得a+c=

1

2

，b=

1

2

；
则k（x）=ax²+

1

2

x+c，
又由x≤k（x）≤

1

2

（x²+1）恒成立可得，
ax²-

1

2

x+c≥0且（2a-1）x²+1x+（2c-1）≤0恒成立；
由ax²+

1

2

x+c≥0恒成立可得a＞0，

1

4

≤4ac，
由（2a-1）x²+1x+（2c-1）≤0恒成立可得（2a-1）＜0，1≤4（2a-1）（2c-1）
得0＜a＜

1

2

，且

1

16

≤ac≤

1

16

∴ac=

1

16

，
且a+c=

1

2

，则a=c=

1

4

，
则k（x）=

1

4

x²+

1

2

x+

1

4

=

1

4

（x+1）²；
（3）证明：k(n)=

n2+2n+1

4

=

(n+1)2

4

⇒

1

k(n)

=

4

(n+1)2

--------（7分）
要证原不等式，即证

1

22

+

1

32

+…+

1

(n+1)2

＞

n

2n+4

因为

1

(n+1)2

＞

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

-----（8分）
所以

1

22

+

1

32

+…+

1

(n+1)2

＞

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

=

1

2

-

1

n+2

=

n

2n+4

所以

1

k(1)

+

1

k(2)

+…+

1

k(n)

＞

2n

n+2

------（10分）

点评：本题综合考查函数的恒成立问题、曲线的切线方程以及放缩法证明不等式，难度较大；解（Ⅱ）题时要注意二次函数大于等于0恒成立的条件．