Question

已知中心在坐标原点，焦点在坐标轴上椭圆Ω的方程

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），它的离心率为

1

2

，一个焦点是（-1，0），过直线x=4上一点M引椭圆Ω的两条切线，切点分别为A、B．
（1）求椭圆的方程；
（2）若在椭圆Ω：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的点（x₀，y₀）处的切线方程是

x0x

a2

+

y0y

b2

=1，求证：直线AB恒过定点C（1，0）；
（3）是否存在实数λ，使得|AC|+|BC|=λ|AC|•|BC|恒成立？（点C位直线AB恒过的定点）若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用椭圆的离心率为

1

2

，一个焦点是（-1，0），求出c，a和b的值，从而求解椭圆方程；
（2）切点坐标为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l上一点M的坐标（4，t），求出切线方程，再把点M代入切线方程，说明点A，B的坐标都适合方程x+

t

3

y=1，而两点之间确定唯一的一条直线，从而求出定点；
（3）联立直线方程和椭圆的方程进行联立，求出两根的积和两根的和，求出|AC|，|BC|的长，求出λ的值看在不在，再进行判断．

解答： 解：（1）∵椭圆的离心率为

1

2

，一个焦点是（-1，0），
∴c=1，a=2，
∴b=

3

，
∴椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）设切点坐标为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线x=4上一点M的坐标M（4，t），则切线方程
分别为

x1x

4

+

y1y

3

=1，

x2x

4

+

y2y

3

=1，又两切线均过点M，即x1+

t

3

y1=1，x2+

t

3

y2=1
，即点A，B的坐标都适合方程x+

t

3

y=1，故直线AB的方程是x+

t

3

y=1，显然直线x+

t

3

y=1恒过点（1，0），故直线AB恒过定点C（1，0）．
（3）将直线AB的方程x+

t

3

y=1，代入椭圆方程得：3(-

t

3

y+1)2+4y2-12=0，即(

t2

3

+4)y2-2ty-9=0
∴y1+y2=

6t

t2+12

，y1y2=

-27

t2+12

，设y₁＞0，y₂＜0，
∴|AC|=

(x1-1)2+ y 2 1

=

( t2 9 +1) y 2 1

=

t2+9

3

y1，
同理|BC|=-

t2+9

3

y2，（12分）
∴

1

|AC|

+

1

|BC|

=

3

t2+9

(

1

y1

-

1

y2

)=

3

t2+9

•

y2-y1

y1y2

=-

3

t2+9

•

(y2-y1)2

y1y2

=-

3

t2+9

•

( 6t t2+12 )2+ 108 t2+2

-27 t2+2

=

1

t2+9

•

144t2+9×144

9

=

4

3

，
即|AC|+|BC|=

4

3

|AC|•|BC|，
故存在实数λ=

4

3

，使得|AC|+|BC|=λ|AC|•|BC|．（13分）

点评：此题主要考查利用导数研究函数的切线方程，第三问是一个存在性问题，利用了根与系数的关系，需要联立方程，考查了学生的计算能力，是一道难题；