Question

已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且y=

f(x)

x

在（0，+∞）上为增函数．
（1）求证：任意x₁，x₂∈（0，+∞），f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）；
（2）若f（x）有零点，求证：f（x）＞2014有解．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数的单调性即可证明任意x₁，x₂∈（0，+∞），f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）；
（2）设f（x₀）=0，根据函数零点的性质即可得到结论．

解答： （1）∵?x₁，x₂∈（0，+∞），
有x₁＜x₁+x₂，x₂＜x₁+x₂，
∵y=

f(x)

x

在（0，+∞）上为增函数，
∴

f(x1)

x1

＜

f(x1+x2)

x1+x2

，

f(x2)

x2

＜

f(x1+x2)

x1+x2

，
即f（x₁）＜x₁•

f(x1+x2)

x1+x2

，f（x₂）＜x₂•

f(x1+x2)

x1+x2

，
则f（x₁）+f（x₂）＜x₁•

f(x1+x2)

x1+x2

+x₂•

f(x1+x2)

x1+x2

=（x₁+x₂）•

f(x1+x2)

x1+x2

=f（x₁+x₂）；
故f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）成立．
（2）若f（x）有零点，设f（x₀）=0，其中x₀＞0．
∵y=

f(x)

x

在（0，+∞）上为增函数．
∴当x＞x₀时，

f(x)

x

＞

f(x0)

x0

=0．
取t∈（0，+∞），满足f（t）＞0，记

f(t)

t

=k．
∵当x＞t时，

f(x)

x

＞

f(t)

t

=k．
∴f（x）＞kx对x＞t成立．
只要x＞

2014

k

，则有f（x）＞kx＞2014，
即f（x）＞2014 一定有解．

点评：本题主要考查抽象函数的应用，根据函数单调性的性质以及函数零点的判断方法是解决本题的关键．