Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点与抛物线y²=4x的焦点相同，且C的离心率e=

1

2

，又A，B为椭圆的左右顶点，M为椭圆上任一点（异于A，B）．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线MA交直线x=4于点P，过点P作直线MB的垂线交x轴于点Q，求点Q的坐标；
（3）在（2）条件下，求点P在直线MB上射影的轨迹方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）先由抛物线y²=4x确定c的值，再利用椭圆的离心率，即可确定椭圆的方程；
（2）设M（x，y），P（4，z），则可得z，利用PQ⊥MB及M在椭圆上，即可求Q的坐标；
（3）点P在直线MB上射影即PQ与MB的交点H，由QH⊥HB得△HQB为直角三角形，从而可求H点的轨迹方程．

解答： 解：（1）由题意知，椭圆右焦点与抛物线y²=4x的焦点相同，
∴c=1，
∵椭圆的离心率为e=

1

2

，∴a=2，
∴b²=a²-c²=3
∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1          （3分）
（2）设M（x，y），P（4，z），
则

MN

PD

=

AN

AD

，故z=

6y

x+2

．
设Q（x₀，0），由PQ⊥MB得：

6y x+2

4-x0

×

y

x-2

=-1，
又M在椭圆上，故x²=4-

4

3

y2，化简得x₀=-

1

2

，即Q（-

1

2

，0）（8分）
（3）点P在直线MB上射影即PQ与MB的交点H，由QH⊥HB得△HQB为直角三角形，
设E为QB中点，则|HE|=

1

2

|QB|=

5

4

，E（

3

4

，0），
因此H点的轨迹方程为(x-

3

4

)2+y2=

25

16

（y≠0）（13分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查轨迹方程，解题的关键是确定椭圆中的几何量，利用垂直关系，建立等式，属于中档题．