Question

如图，抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点F在y轴上，准线l与圆x²+y²=1相切．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）已知直线m和抛物线C交于点A、B，命题P：“若直线m过定点（0，1），则

OA

•

OB

=-3”，请判断命题P的真假，并证明．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）设抛物线C的方程为：x²=2py，p＞0，由已知条件得圆心（0，0）到直线l的距离d=|0-（-

p

2

）|=1，由此能求出抛物线线C的方程．
（Ⅱ）设直线m：y=kx+1，交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立抛物线C的方程x²=4y，得x²-4kx-4=0，△=16k²+16＞0恒成立，由此利用韦达定理能证明命题P为真命题．

解答： 解：（Ⅰ）依题意，可设抛物线C的方程为：x²=2py，p＞0，
其准线l的方程为：y=-

p

2

．
∵准线l与圆x²+y²=1相切．
∴圆心（0，0）到直线l的距离d=|0-（-

p

2

）|=1，
解得p=2．…4分
故抛物线线C的方程为：x²=4y．…5分
（Ⅱ）命题p为真命题
因为直线m和抛物线C交于A，B且过定点（0，1），
所以直线m的斜率k一定存在，…6分
设直线m：y=kx+1，交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立抛物线C的方程x²=4y，
得x²-4kx-4=0，△=16k²+16＞0恒成立，…8分
由韦达定理得x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，…9分

OA

•

OB

=-4+

1

16

•（-4）²=-3，
∴命题P为真命题．…12分．

点评：本题考查抛物线方程的求法，考查命题真假的判断和证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．