Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n=（-1）ⁿa_n+

1

2n

，{S_n}的前n项和为T_n，则T₂₀₁₄=

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：由数列递推式求得数列的通项公式，得到数列的奇数项和偶数项，然后代入T₂₀₁₄，分组后利用等比数列的求和公式得答案．

解答： 解：由S_n=（-1）ⁿa_n+

1

2n

，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（-1）ⁿa_n-（-1）^n-1a_n-1-

1

2n-1

．
n为偶数时，a_n-1=

1

2n-1

；
n为奇数时，2a_n+a_n-1=

1

2n-1

，
∴a₂=a₄=…=a₂₀₁₄=0．
∴T₂₀₁₄=（-a₁+a₂-a₃+…+a₂₀₁₄）+（

1

2

+

1

22

+…+

1

22014

）
=-（a₁+a₃+…+a₂₀₁₃）+（

1

2

+

1

22

+…+

1

22014

）
=-（

1

2

+

1

23

+…+

1

22013

）+（

1

2

+

1

22

+…+

1

22014

）
=-

1 2 (1- 1 41007 )

1- 1 4

+

1 2 (1- 1 22014 )

1- 1 2

=

1

3

(1-

1

41007

)．
故答案为：

1

3

(1-

1

41007

)．

点评：本题考查了数列递推式，考查了等比数列的前n项和，训练了数列的分组求和，是中档题．